統計

　すこしばかり奇妙な話をしてみようかと思う。

　なにかの統計を取るとき、標本の数、つまりはデータの数は多い方が望ましい。しかし、ある母集団のすべてを標本として調べあげるのは、だいたいの場合には難しいだろうということも、説明はいらないと思う。

　統計を扱う場合、どのような分布であると仮定ないし想定するかには、代表的ないくつかのものがある。今回は、そのどれでもかまわないのだが、正規分布で考えてみることにする。

　正規分布とはどういうものか。まぁ、検索してもらえばわかると思う。ここでは、平均値：μ ＝ ０、分散：σ^2 ＝ １としておく。すると、式はこうなる：

　　　ｆ（ｘ） ＝ （１／ｓｑｒｔ（２π）） * ＥＸＰ（−（ｘ^2）／２）

　式の書き方にちょっと癖があるが、これは誤解がないように細かく括弧を入れているためだ。また、“ＥＸＰ”だが、これがすこしややこしい。「自然対数の底ｅの何乗」という使われかたもすれば、「１０の何乗」という使われかたもする。工学系では「１０の何乗」という場合がほとんどだ。この式の場合も「１０の何乗」だ（それでいいと思うが、ミスってたら申し訳ありません）。

　さて、これをグラフにすると次のようになる。

　では、これの横軸を離散値にするとしよう。なお、こちらのグラフは手抜きだ。横軸ｘで、“−０．５”とあるのは、“−０．５ ≦ ｘ ＜　０”の範囲だ。

　さて、では本題だ。標本が一つしかない場合を考えてみよう。では、その標本の値は、どこに属している可能性が高いだろうか。細かい話はともかく、棒グラフの棒の面積で考えてみればいい。つまり、このグラフの場合、“−０．５ ≦ ｘ ＜　０．５”の範囲に入っている可能性が高い。このグラフの場合、７３％ほどで“−０．５ ≦ ｘ ＜　０．５”という範囲に入っている。

　上で「分散：σ^2 ＝ １」と書いたが、統計の場合「分散」とともに「標準偏差」（σ）もよく使われる。標準偏差の場合、“−１σ ＜ ｘ ＜　１σ”の範囲が６８．２％を占める（あれ？ グラフはミスってないはずだけど）。この場合、標本が一つしかない場合、それは６８．２％の可能性で“−１σ ＜ ｘ ＜　１σ”の範囲に入っている。

　この２つのグラフでは「平均値：μ ＝ ０」としている。これは平均値なので、母集団によっていくらでも上下する。というわけで、一つの標本をポンと取り出した場合、６８．２％の確率で“−１σ ＜ ｘ ＜　１σ”の範囲に入っており、その真中である平均値に近いと推測できる。“１σ”でなく、“０．５σ”とかを使ってもいい。どっちにしろ、平均値に近いものである可能性が高いことにかわりはない。

　もちろん、すくない標本数で母集団をうんぬんするのは、危険でもある。だが、標本数がすくないならすくないなりの考え方がある。おおざっぱに言えば、「標本数がすくないから信頼できない」のは確かだとしても、ではどれくらい信頼できないのかという話であり、またどの程度の信頼できなさは許容するのかという話でもある。なのでたんに「標本数がすくないから信頼できない」とだけ言うのは、誤りだとも言える。このあたりは逆に、標本数が多くともそれが信頼できるのかという話でもある。

　ちょっとばかり奇妙に思えるだろう話のつもりだったが、どうだろうか？