第３２問　「ちょっとしたクイズ」その１６・解答

　まずは問題のおさらいから。

　ヒトデとタコとイカが合わせて10匹います。ヒトデとタコとイカの腕の数を足すと87本でした。

　ヒトデ、タコ、イカは何匹ずついますか？

　※ヒトデの腕は５本、タコの腕は８本、イカの腕は10本とします。

　まず、すべてヒトデだとします。

　　　５×１０＝５０

　　　８７－５０＝３７

　すると、面積図は次のようになります。

　黄色の長方形の縦の長さが「５」になりますから、足して『３７』になる３の倍数と５の倍数の組み合わせを考えると

　『１２＋２５』　『２７＋１０』

の２通りになります。

　ですが

　　　２７÷３＝９

　　　１０÷５＝２

より、『２７＋１０』はタコが９匹、イカが２匹となって１０匹を超えるから不適です。

　ですので、答えは『１２＋２５』となり、

　　　１２÷３＝４

　　　２５÷５＝５

　　　１０－（４＋５）＝１

　これにより、答えは

　　『ヒトデが１匹、タコが４匹、イカが５匹』

となります。

　なお、ちゃんと計算した場合は次の通りです。

　　　５×１０＝５０

　　　８７－５０＝３７

　　　３７÷５＝７・・・２

　　　５×６＝３０　（３７－３０）÷３＝２・・・１

　　　５×５＝２５　（３７－２５）÷３＝４

　　　５×４＝２０　（３７－２０）÷３＝５・・・２

　　　５×３＝１５　（３７－１５）÷３＝７・・・１

　　　５×２＝１０　（３７－１０）÷３＝９

　　　※タコとイカの合計が１１匹となり不適。

　　　　これ以上は同じ理由でありえない。

　あくまで「ちゃんと書くなら」の話です。５と３の最小公倍数は１５ですから、本当は『１５』ごとに調べれば十分。『２５』を見つけたら２５－１５で『１０』を調べれば十分です。

　なお、割烹で実施した際にいくつか別解が寄せられましたので、参考までに書いておきますね。

　　　＊　＊　＊

≪別解１≫

　腕の合計「87」は奇数だから、ヒトデの数は必ず奇数になる。

　５を引いた「82」で考えると、ヒトデの数は偶数なので腕の数は「10」の倍数。

　よって、ヒトデとイカとタコの合計が９匹で

　　　「10の倍数(ヒトデの腕の合計)」＋「10の倍数(イカの腕の合計)」

　　　　　＋「８の倍数(タコの腕の合計)」=82

だから、８の倍数の１の位は２。

　これは「８×４＝32」しかない。（※「８×９＝72」は上記の式と合わない）

　よって「タコは４匹」で確定するから、残りの条件を整理すると

　　　『ヒトデとイカが合わせて５匹で、腕の合計は50本。

　　　　ただし、ヒトデの数は偶数。（※１匹は避けてある）』

となる。ヒトデが０匹のときと２匹のときと４匹のときを確認すればよいので

　　５×０＝０　50÷10=５　∴ 合計５匹となり適

　　５×２＝10　(50-10)÷10=４　∴ 合計６匹となり不適

　　５×４＝20　(50-20)÷10=３　∴合計７匹となり不適

　以上より『ヒトデが１匹、タコが４匹、イカが５匹』。

　　　＊　＊　＊

　奇数偶数と１の位に注目した、面白い回答ですね。

　これと似た考え方で、次のような解法もあります。

　　　＊　＊　＊

≪別解２≫

　イカの腕の合計は必ず10の倍数になるから、腕の合計「87」の１の位「７」はヒトデの腕の合計とタコの腕の合計を合わせた数の１の位になる。

　ヒトデの腕の合計は５の倍数だから１の位は「０か５」、タコの腕の合計は８の倍数だから１の位は偶数」。よって組み合わせは「５＋２」のみである。

　タコの腕の合計は８の倍数より１の位が「２」になるものを考えると「８×４＝32」のみ（※「８×９＝72」は条件に合わない）だから

　　87－32=55

　よってヒトデとイカを足すと６匹、ヒトデとイカの腕の合計は55本。

　ヒトデの数は奇数だから、１匹、３匹、５匹を確認すればよい。

　　　＊　＊　＊

　さらに、次のような解答も。

　　　＊　＊　＊

≪別解３≫

　すべてタコだと仮定すると、「80」。

　タコをヒトデに置き換えると１つにつき「－３」、タコをイカに置き換えると、１つにつき「＋２」となる。

　「－３」と「＋２」を組み合わせて「＋７」を作ればよい。

　つまり、イカは明らかに５匹以上で

　　　２×５－７＝３＝３×１　∴ イカが５匹、ヒトデが１匹となり適

　　　２×６－７＝５　∴ ３の倍数でないので不適

　　　２×７－７＝７　∴ ３の倍数でないので不適

　　　２×８－７＝９＝３×３　∴ イカが８匹、ヒトデが３匹となり、10匹を超えるので不適

　これ以上はイカとヒトデの合計が必ず10匹を超えるので確認は不要。

　よって、『ヒトデが１匹、タコが４匹、イカが５匹』となる。

　　　＊　＊　＊

　なお、後半の「－３」と「＋２」で「＋７」を作るというのは、

　　　－３ａ＋２ｂ＝７

を満たす10未満の自然数ａ、ｂを見つければよい、と説明できます。

　　　－３ａ＋２ｂ＝３＋４

　　　２(ｂ－２)＝３(ａ＋１)

　ｂ－２は３の倍数よりｂは３で割って２余る数。

　ｂは５以上９以下ですから、５か８ですね。

　ｂ＝８のときはａ＝３となり10を超えるので不適となります。

　どこに注目するかで、いろいろな解法がありますね。