第７０問 「ちょっとしたクイズ」その３８・解答
まずは、問題のおさらいから。
赤・黄・緑・青の４色に色分けしてある紙のマス目に、図のように正の整数を１から300まで書きました。
【問題１】
赤の数字・黄の数字・緑の数字・青の数字はそれぞれ何個ずつありますか。
【問題２】
このマス目から次のような正方形Ａを切り取りました。
Ａに書かれている数字の合計が「７９６」のとき、青の数字はいくつでしょう？
【問題３】
もう１つ、このマス目から次のような正方形Ｂを切り取りました。
Ａの数字の合計からＢの数字の合計を引くと「１６０」になりました。
黄色の数字はいくつでしょう？
＊ ＊ ＊
それでは解答です。まずは問題１から。
正方形の１辺は２，４，６……と偶数になっています。
300個の数字で正方形をどこまで埋めているかを考えればよいので、「300」を偶数の２乗で挟みます。
（16の２乗）＝256 （18の２乗）＝324
となりますから、300は１辺18の正方形の途中です。
１辺18の正方形は17個ずつに色分けされているので
300－256＝44
44÷17＝２・・・10
色の順番は「赤→黄→緑→青」となっているので、緑の10個目が「300」です。
なお、その内側、つまり１辺16の正方形の周および内部にある４色の個数は同じですから
256÷４＝64（個）
よって、赤の数字は
64＋17＝81（個）
黄の数字は赤と同じなので 81個
緑の数字は
64＋10＝74（個）
青の数字は 64個。
ということで、問題１の答えは
『赤：81個 黄：81個 緑：74個 青：64個』
となります。
次に、問題２です。正方形Ａを数字が正しく読める向きに変えると次のようになります。
青の数字①は、ある正方形の最後の数になるので、必ず偶数の平方数です。①～④の４つの中で、一番大きい数字になります。
①②③④の合計が「796」より
796÷４＝199
よって199より大きい偶数の２乗を探すと
（14の２乗）＝196＜199
（16の２乗）＝256＞199
問題１より18の２乗はありえないので、16の２乗で確定します。
よって問題２の答えは
『青の数字は「２５６」』
となります。
ちなみに他の数字は
②：(14の２乗)＋１＝197
③：②＋１＝198
④：(12の２乗)＋１＝145
となります。
それでは問題３です。正方形Ｂを数字が正しく読める向きに変えると次のようになります。
黄色の数字①はある偶数の平方数と次の偶数の平方数の真ん中の数字になります。
他の②～④も含めて大小関係と計算式を考えると、次のようになります。
（ｘの２乗）＜④＜（ｘ＋２の２乗）＜①＜②＜③＜（ｘ＋４の２乗）
①：{(ｘ＋２の２乗)＋(ｘ＋４の２乗)}÷２
②：①＋１
③：①＋２
④：{(ｘの２乗)＋(ｘ＋２の２乗)}÷２＋１
問題２より
（正方形Ｂの合計）＝796-160＝636
636÷４＝159
（10の２乗）＝100
（12の２乗）＝144
（14の２乗）＝196
④は159より小さく③は159より大きいことに注意すると
(100＋144)÷２＝122＜159
(144＋196)÷２＝170＞159
より「ｘ＝10」で確定します。
よって問題３の答えは
『黄色の数字は「１７０」』
となります。
他の数字も確認すると
②：171
③：172
④：(100+144)÷２＋１＝123
となります。
さて、一般に次のことが成り立ちます。
これを使って、４個の数字の平均より大きいか小さいかに着目し、絞り込んでるんですね。
なお、「＝」が成り立つのはｎ個の数字が全部等しいときのみなので、今のように異なる４つの数字の場合は必ず不等号が成り立ちます。
上記の解答ではスピードを重視して大枠から絞り込む方法で答えを出しましたが、勿論計算でも解けます。
２次方程式になるので、中学数学になりますね。
きっちり答案を書かないといけないとなると、こちらの方が確実ですね。
あっ、問題３はたすきがけか……ひょっとして高校数学になってしまうかな？ (￣▽￣;)
