第５９問 「ちょっとしたクイズ」その３１・解答
それではまずは、問題のおさらいから。
赤いおもりと青いおもりと緑のおもりが３個ずつ、合計９個あります。
これらのうち、次のようにモビールに吊るすと、いずれもちょうどつりあいました。
ただし、モビールの重さは考えないものとします。
いま、赤いおもりと青いおもりと緑のおもりを１個ずつ左側に吊るしました。
右側の30cmと40cmの２か所におもりを吊るすことができるとすると、どのようにおもりを吊るせばちょうどつりあいますか？
考えられる組み合わせを、すべて答えなさい。
※色が同じおもりは、すべて同じ重さです。
※モビールの重さ、および吊り下げる糸の重さは考えないものとします。
※右側でおもりが吊るせるのは30cmと40cmの場所だけです。他の場所に吊るしてはいけません。
※30cmのところだけ、40cmのところだけ、という吊るし方もアリです。
※おもりを半分に割ったりしてはいけません。
それでは解説です。
２つ目の青と緑だけの図に注目しましょう。
緑のおもりの重さを「１」とすると、右側は
２×１＋４×１＝６
すると左側は
６÷３＝２
より、青のおもりの重さは「２」となります。
次に、１つ目の図を見てみましょう。
右側を計算すると
２×２＋４×１＝８
よって左側は
８÷３＝8/3
このことから赤のおもりの重さは「8/3」となります。
分数だとわかりにくいので、これ以降は
赤のおもりの重さは [8]
青のおもりの重さは [6]
緑のおもりの重さは [3]
とします。
それでは、問題の図を見てみましょう。
今回の数値は
３×(８＋６＋３)＝51
左は30cmのところに「赤・青・緑を１個ずつ」を吊るしていますから、右側の30cmのところに同じように「赤・青・緑を１個ずつ」を吊るせばつりあいます。（※モビールの重さを考えないので）
これがまず、答えの１つになります。
次にこれ以外の吊るし方を考えます。
さて、ここで今回満たすべき式はというと
３×○＋４×□＝51
51は奇数ですから、○は奇数でなければいけません。
つまり『30cmのところ吊るす緑は必ず１個である』ことが確定します。
残りを考えると
３×(●＋３)＋４×□＝51
３×●＋４×□＝42
すると、３×●は４で割って２余る数だから、●は４で割って２余る数です。
ここで手元にあるのは
赤[8]が２個・青[6]が２個・緑[3]が１個
であり、緑は吊るさず「赤[8]１個・青[6]１個」の重さ[14]未満であることを考えると
①赤[8]１個のみ ②青[6]２個 ③青[6]１個 ④それ以上吊るさない
の４パターンですね。
これらの数値は
①[8] ②[12] ③[6] ④[0]
となり、このうち４で割って２余る数になるのは③だけです。
３×６＋４×□＝42
□＝６ → 青[6]１個
よって答えは、
・30cmのところに赤と青と緑を１個ずつ吊るす
・30cmのところに青と緑を１個ずつ吊るし、40cmのところに青を吊るす
の２通りになります。
これはあくまで私の解法で、ひょっとしたらもっと早いやり方があるかもしれません。
こうするといいよ、という解法があったらお知らせください。m(_ _)m
それでは、あとがきにて追加で出題した「右側の20cm・30cm・40cmに吊るせる場合」についても考えてみましょうか。
結構ややこしいので、頑張って説明します。できれば読んでくれると嬉しいなー。d(￣▽￣;)
まず、30cmのところに同じように吊るすのは答えの１つだとして、それ以外の吊るし方を考えます。
ここで満たすべき式はというと
２×○＋３×△＋４×□＝51
51は奇数ですから、△は奇数でなければいけません。
よってさきほどと同様、『30cmのところ吊るす緑は必ず１個である』ことが確定します。
残りを考えると
２×○＋３×(▲＋３)＋４×□＝51
２×○＋３×▲＋４×□＝42
ここで手元にあるのは
赤[8]が２個・青[6]が２個・緑[3]が１個
であり、先ほどと同様、
①赤[8]１個のみ ②青[6]２個 ③青[6]１個 ④それ以上吊るさない
の４パターンですね。
ここからは場合分けです。
①赤[8]１個のとき（▲＝８）
２×○＋４×□＝18
手元にあるのは
赤[8]が１個・青[6]が２個・緑[3]が１個
ここで○は奇数でなければならないので
・２×３＋４×３ ⇒緑[3]が２個要るのでダメ
・２×９＋４×０
となり結果として１通り。
つまり吊るし方は
20cmのところに青[6]１個・緑[3]１個
となります。
②青[6]２個のとき（▲＝12）
２×○＋４×□＝６
手元にあるのは
赤[8]が２個・緑[3]が１個
ここで○は奇数でなければならないので
・２×３
のみ。
つまり吊るし方は
20cmのところに緑[3]１個
となります。
③青[6]１個のとき（▲＝６）
２×○＋４×□＝24
手元にあるのは
赤[8]が２個・青[6]が１個・緑[3]が１個
ここで○は偶数でなければならないので
・２×０＋４×６
・２×６＋４×３
の２通り。つまり吊るし方は
・40cmのところに青[6]１個
・20cmのところに青[6]１個と40cmのところに緑[3]１個
となります。
④それ以上吊るさないとき（▲＝０）
２×○＋４×□＝42
手元にあるのは
赤[8]が２個・青[6]が２個・緑[3]が１個
ここで○は奇数でなければならないので
・２×３＋４×９ ⇒緑[3]が２個要るのでダメ
・２×９＋４×６
・２×15＋４×３ ⇒緑[3]が２個要るのでダメ
となり結果として１通り。
つまり吊るし方は
・20cmのところに青[6]１個と緑[3]１個と40cmのところに青[6]１個
となります。
以上より、答えは
の６通りとなります。
場合分けのポイントは「すべてが排反」であり、かつ「すべての場合」を網羅していること。
今の場合、「３」だけ奇数なのでここに注目して考えた、ということですね。
