1. 数学の準備

　数学の準備というと、少し身構えてしまうかも知れません。熱力学ではある物理的な変化に対して、増加するか減少するかが決まっている物理量があります。例えば、孤立系のエントロピーは増加します。変化がゼロになったところで熱平衡となります。物理量の増減を考えるのには、微分が便利です。

(1) 微分

　y=f(x)という関数があったとします。横軸をx、縦軸をyにとると、xに対するyの傾きがプラスであればyは増加、ゼロであればyは最大もしくは最小(上に凸なら最大、下に凸なら最小)、マイナスであればyは減少です。

　ここで、y=f(x)のx=x0における傾きの求め方を示します。すなわち、微分です。

　y0=f(x0) (1)

です。x=x0+Δxにおいては、

　y1=f(x0+Δx) (2)

となります。x0から微小距離離れた場所では、y0は、Δy=y1-y0だけ変化します。式をまとめると、

　Δy/Δx=[f(x0+Δx)-f(x0)]/Δx (3)

において、Δx→0とした極限値を微分といい、dy/dxもしくは、df(x)/dxと書きます。

　分母Δxをゼロにすると、ゼロで割る感じが気持ち悪い人もいるかも知れません。しかし、分子もゼロに近づくので、有限な極限値をえることができます。

　例として、y=f(x)=x^3、の傾き(微分)を求めましょう。

f(x+Δx)=(x+Δx)^3

=x^3+3・x^2・Δx+3・x・Δx^2+Δx^3

[f(x+Δx)-f(x)]= 3・x^2・Δx+3・x・Δx^2+Δx^3

Δy/Δx=[f(x+Δx)-f(x)]/Δx

= 3・x^2+3・x・Δx+Δx^2 (4)

ここで、Δx→0の極限で、

dy/dx= 3・x^2 (5)

となります。

　ここで、dy/dxやdf(x)/dxは、見た目は分子と分母からなるように見えますが、これらは、分母分子ひっくるめて傾きを表す一つの関数です。

(2) 全微分と偏微分

　上では、y=f(x)のように、変数が一つの場合を説明しました。二つの変数を持つy=f(x1,x2)の場合には、

Δy=∂f(x1,x2)/∂x1・Δx1+∂f(x1,x2)/∂x2・Δx2 (8)

で与えられます。∂f(x1,x2)/∂x1は、x2を一定としたときのx1に関する微分です。これを偏微分といいます。式(8)は、変数x1、x2がΔx1、Δx2だけ変数が変化したときのyの変化Δyです。(3)のように微小量Δxを分母に移行しないで、(8)のように、変数Δx1、Δx2を分子に残したまま、変化量Δyを表示する方法を全微分といいます。

　1変数を全微分で書くと、

Δy=dy/dx・Δx (9)

と書けます。

　傾きの符号だけですと、変数xの変化の向きでyの増減が変わって面倒です。以下では、(8)(9)の全微分の形式で書くことにします。

＊dy/dxや∂f(x1,x2)/∂x1は関数の傾きです。全微分は、傾きがほとんど変わらない範囲で、変数xをΔxだけ変化させたら、yの変化Δyがどのくらいかを計算する、という考え方です。

(3) 便利な微分公式

　f(x)とg(x)の積の微分は以下です。

Δ(f(x)・g(x))=(f(x+Δx)・g(x+Δx)-f(x)・g(x)

+(f(x)・g(x+Δx)-f(x)・g(x+Δx)

= [f(x+Δx)-f(x)]・g(x+Δx)+f(x)・[g(x+Δx)-g(x)]

=Δf・g(x+Δx)+f(x+Δx)・Δg (10)

となる。両辺をΔxで割ると以下となる。

Δ(f(x)・g(x))/Δx=Δf/Δx・g(x+Δx)+f(x)・Δg/Δx (11)

Δx→0の極限ど以下をえます。

d(f(x)・g(x))/dx=df/dx・g(x)+f(x)・dg/dx (12)

もう一つ、合成関数f(g(x))の微分公式を示します。

Δ(f(g(x))=f(g(x+Δx)-f(g(x)) (13)

ここで、

Δg=g(x+Δx)-g(x) (14)

より、式(13)は、以下となる。

Δ(f(g(x))=f(g(x)+Δg)-f(g(x))

=[f(g(x)+Δg)-f(g(x))/Δg]・Δg (15)

[]内は、Δf/Δgであるので、式(15)をΔxで割ると以下となる。

Δ(f(g(x))/Δx=Δf/Δg・Δg/Δx (16)

Δx→0の極限で以下を得る。

d(f(g(x))/dx= df/dg・dg/dx (17)

(4) その他: 自然対数の計算

　このシリーズでは、エントロピーの計算に対数演算を使います。底を自然数(ネイピア数)とした、自然対数を使います。

　証明は省略します。主な公式は、

　log(a・b)=log(a)+log(b)

　log(a/b)=log(a)-log(b)

log(x^α)=α・log(x)

d(log(x))/dx=1/x

　です。

【問】以下を証明せよ。後の章で使う。

y=x^α (6)

のとき、

dy/dx=α・x^(α-1) (7)

ここで、αは実数とする。

回答: αが整数の場合は、上のy=x^3と同様に証明できます。

αが実数の場合には、g(x)=log(x)のとすると、dg/dx=1/xを利用する。両辺の対数をとる。

log(y)=α・log(x)

両辺をxで微分する。

(dy/dx)/y=α/x

dy/dx=y/x=α・x^(α-1)

本日の要点

・熱力学量には物理的な変化において増加か減少かが

　決まっているものがある。例えば、エントロピーである。

・物理量の増減を考えるのには、微分が便利である。

・y=x^αのとき、dy/dx=α・x^(α-1)

・全微分表示は、以下で書ける。

　Δy=dy/dx・Δx (1変数の場合)

　Δy=∂f(x1,x2)∂x1・Δx1+∂f(x1,x2)∂x2・Δx2

　　　(2変数の場合)

・以下よく使う公式である。

積の微分

d(f(x)・g(x))/dx=df/dx・g(x)+f(x)・dg/dx

合成関数の微分

d(f(g(x))/dg= df/dg・dg/dx

自然対数の公式

log(a・b)=log(a)+log(b)

log(a/b)=log(a)-log(b)

log(x^α)=α・log(x)

d(log(x))/dx=1/x

次回は、2. エントロピーについて述べます。